آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

جواب این است که با توجه به نوع نگرش فلسفى که نسبت به اشیاء ریاضى و عالم ریاضى داریم ریاضیات غیر کلاسیک هم وجود دارد. به تسامح مى توان گفت که در ریاضیات کلاسیک شیوه هایى از استدلال و برهان وجود دارد که در ریاضیات غیرکلاسیک مجاز نیست. به ویژه برهان خلف به عنوان یک برهان که در ریاضیات کلاسیک به کار مى رود در ریاضیات غیر کلاسیک بر قرار نیست و قاعدتاً منطقى را مى طلبد که با منطق ریاضیات کلاسیک متفاوت است. در این منطق، ریاضیات ساختى اصل طرد شق ثالث یک اصل معتبر ریاضى نیست. بنابراین منطق ریاضیات ساختى و به عبارت معروفتر منطق شهود گرایانه اصول و قواعد کمترى از منطق کلاسیک را دارد.

کتاب «منطق ریاضى» بسیار خاص است. یعنى عبارت است از: بررسى منطق ریاضیات کلاسیک. اما بین این معناى خاص و عام منطق ریاضى رابطه واقعى وجود دارد. به این معنا که حتى در معناى خاص منطق ریاضى ویژگى عام معنایى هم در این مورد وجود دارد. یعنى این که ما از تکنیکها و روشهاى ریاضیات در بررسى تحقیق درباره ریاضیات سود مى بریم. پس منطق ریاضى به دو وجه ریاضى است. نخست اینکه موضوع آن موضوع منطق ریاضى است، دوم اینکه روش آن ریاضى است. یعنى اینکه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضى، ما به موضوع منطق ریاضى مى پردازیم. پس منطق ریاضى به معناى عام براى موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضى است و این نکته اى نسبتاً مهم است. ریاضى بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلى دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است که وقتى مى گوییم روش ریاضى است یعنى در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى کند که چه اعمالى را انجام دهیم و یا چه اعمالى را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت کنیم روش ریاضى همان علائم و نمادهایى است که براى اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به کار مى رود.

بدیهى است که هر چه این تکنیک ریاضى را در سطح بالاترى به کار بریم یعنى هر چه هزینه بیشترى بپردازیم چیز بهترى به دست مى آوریم به همین دلیل است که غالباً قضایاى شگفت انگیز بنیان افکن علم ریاضى از تکنیکهاى پیشرفته اى در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضى را محدودتر کنیم طبعاً چیز کمترى به دست مى آوریم.

به معناى عام منطق ریاضى باز مى گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یک منطق وجود دارد و یا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آیا هر کدام از اینها روش خاص ریاضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اینکه ما چه تعریفى براى منطق قائل باشیم شکى نیست که نقطه آغازین منطق ریاضى ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمى منطق ریاضى است که منطق یا به عبارتى دیگر نظمهاى تفکر در قالب زبان متجلى مى شوند. بنابراین زبان، بحث فلسفى عمیقى را مى طلبد. چیزى که در قالب زبان نیاید در قلمرو کار منطق و ریاضى قرار نمى گیرد. این زبان، زبان طبیعى نیست گرچه با بررسى و تجزیه و تحلیل زبان طبیعى ساخته مى شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوییم. در این زبان نمادهایى را به طور صورى ابداع مى کنیم که این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعى جدا مى کند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمى شوند. این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعى و اجزاى زبان طبیعى ساخته مى شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعى داریم مدل ریاضى بسازیم. به عبارتى دیگر این بخشى از کار منطق ریاضى است که ما براى نحوى از زبان ابتدا مدل ریاضى مى سازیم. اما مفاهیم دیگرى مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مى گیرند. قسمت دوم کار، مدل سازى براى معنا شناسى یا دلالت شناسى زبان است. اما در منطق ریاضى بین نحو کلام یا زبان و یا معناشناسى زبان براى جلوگیرى از هر نوع خلط احتمالى جدایى است. نحو در زبان صورى چیزى شبیه گرامر و دستور زبان است. یکى از مسائل اساسى که در این مرحله در منطق ریاضى به آن توجه شده این است که بین زبانى که به عنوان شىء ساختیم و زبانى که در آن درباره این شىء که در زبان هست مى خواهیم صحبت کنیم، تمایز اساسى وجود دارد. بنابراین هوشمندى در زبان جلوگیرى از پارادوکسهایى است که در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانى بود مثل عبارت پارادوکس دروغگو.

یکى از مفاهیمى که به نوعى مشترک در زبان شناسى، فلسفه و منطق است و شاید یکى از مفاهیم بسیار اساسى باشد مفهوم «معنادارى» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ کدام از این سه شاخه تا کنون قادر به ارائه یک مدل از آن نشده اند. در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسى که در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است که در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یکى دیگر از علایق اساسى منطق ریاضى رابطه این دو است. اینکه ما در نحو زبان مفاهیمى داریم و آنها را ابداع کردیم و همین طور در دلالت شناسى زبان مفاهیمى را مدل سازى ریاضى کردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسى منطق است. اینکه آیا در یک دستگاه منطقى گزاره اى مثل E اثبات یا استنتاج شود کاملاً یک مفهوم نحوى است که چگونه یک جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید کنید. تولید کاملاً یک مفهوم مبتنى بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید که آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یک مفهوم معنایى است اینکه خارج از زبان بین این دو چه رابطه اى وجود دارد و بررسى رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق ریاضى است.

تدوین منطق ریاضى اساساً کار سختى است ولى مى توان گفت بین سالهاى ۱۸۵۰تا ۱۹۵۰ این کار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین کسى که این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینکه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضى چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من کاخ عظیم منطق ریاضى را ارسطو ساخته است. این کاخ چنان مستحکم بود که حداقل تا ۱۸۷۹ وقتى که فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلى که نسبت به زبان آغاز کرد از منطق دگرگون کرد. منطق ارسطویى، تحلیلى را از اجزاى جمله شروع مى کند که مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون کرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود. بدین ترتیب مفهومى ریاضى وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه کارهاى دیگرى هم انجام داد که بنیاد منطق ریاضى جدید مبتنى بر کارهاى فرگه است.

سومین کسى که کار انقلابى در منطق کرد اما مبتنى بر کارهاى فرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایاى تمامیت و قضایاى نا تمامیت را ارائه کرد. قضیه تمامیت باز مى گردد به همان مفهوم و سؤالى که من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح کردم. آیا در یک دستگاه منطقى یک حکم یا یک گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعکس در حکمى که صادق است هر معنایى در همه جهانهاى ممکن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگى داشته باشد نشان دهنده این است که این دستگاه کامل و تمام است. گودل در ۱۹۳۰ ثابت کرد که این بنیانگذارى منطق بر شالوده تفکر فرگه براى منطق کامل هست. قضایاى نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس کننده تر براى تفکر بشرى است.

منبع:    www.euler.blogfa.com